Inizia il suo percorso sportivo presso l’Aprilia Rugby per poi continuare il suo percorso presso il Rugby Lanuvio. A 16 anni si sposta nelle giovanili della Capitolina.
Passato all’Accademia FIR “Ivan Francescato” nel 2016, prese parte al Sei Nazioni di categoria con la nazionale Under-20, e nel 2017 fu ingaggiato a Calvisano dove, nel 2019, vinse il titolo di campione d’Italia guadagnando anche, a titolo individuale, il riconoscimento di miglior giocatore del campionato.
Già permit player delle Zebre Rugby Club nella stagione 2018-19 durante la permanenza a Calvisano, nella Stagione e Sportiva successiva passa definitivamente alla Franchigia parmense.
Aggregato alla nazionale maggiore dal C.T.  O’Shea per la preparazione estiva in vista della Coppa del Mondo 2019, non fu incluso nella rosa finale. Tuttavia, a competizione in corso, fu convocato insieme per sostituire Marco RIccioni, infortunatisi nel corso dell’incontro della fase a gironi contro il Sudafrica, per poi essere schierato nell’ultimo incontro del girone contro gli All Blacks; World Rugby tuttavia annullò l’incontro per ragioni di sicurezza e Fischetti non ebbe l’occasione di esordire per l’Italia.
Viene poi convocato per il Sei Nazioni 2020 ed esordisce alla prima giornata, il 1º febbraio 2020, al Millennium Stadium contro il Galles. Scende in campo in tutte e cinque le partite del torneo.
Diventato un punto fermo della Nazionale Italiana, dopo 4 Stagioni a Parma, nel Luglio 2022 Danilo si trasferisce ai London Irish, Storica società londinese partecipante al massimo Campionato Inglese.
Nonostante le ottime performance sul campo dopo solo una stagione è costretto ad un rientro anticipato in Italia a causa delle condizioni economiche del club inglese che dichiara bancarotta.
Rientra presso le Zebre Rugby e prende parte alla Coppa del Mondo 2023 in Francia.
Ad oggi ha all’attivo 34 caps con l’Italia.